申请延期宣判的流程如下：
提交申请
由主审法官向法院提出关于延后宣布判决裁定的申请，并详细说明需要延期的理由，例如案件审理异常复杂或需要进一步补充相关证据等。
当事人也可以向人民法院提交延期审理申请书，申请书应当明确陈述延期审理的理由和事实依据。
法院审查
法院在收到延期审理申请后，会进行审查，根据法定事由的存在与否，决定是否同意延期审理。
法院会严格遵循法定程序进行审批，并及时通知各相关方当事人。
通知当事人
如果法院批准了延期，将会及时通知各方当事人关于此次延期的决定以及预计新的宣告判决日期。
等待期审理
在等待期内，法院会持续推进案件的审理工作，同时展开进一步的调查取证活动。
重新宣判
当所有准备工作就绪后，法院将选择一个新的日期，对该案件进行公开宣判。
法律依据
《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百零八条规定，人民法院审理公诉案件，应当在受理后二个月以内宣判，至迟不得超过三个月。对于可能判处死刑的案件或者附带民事诉讼的案件，以及有本法第一百五十八条规定情形之一的，经上一级人民法院批准，可以延长三个月；因特殊情况还需要延长的，报请最高人民法院批准。
注意事项
延期审理的申请应当在法定期限内提出，并且需要有充分的理由和事实依据。
法院在决定是否批准延期时，会综合考虑案件的实际情况和法律规定。
延期宣判的决定一旦作出，法院会及时通知所有相关当事人，确保程序的透明和公正。